Compléments d’analyse et algèbre linéaire

Il y a trois parties du cours: analyse vectorielle, suites et séries, et algèbre linéaire. Voilà un petit descriptif de chaque partie:

Analyse vectorielle.

On étudie les “champs de scalaire et de vecteurs”. Un champs de scalaire est la donnée d’un nombre en chaque point de l’espace (exemple: la température). Un champs de vecteurs est la donnée d’un vecteur (direction et magnitude) en chaque point de l’espace (exemple: la vélocité du vent). On va voir comment étudier les champs avec les utils du calcul différentiel.

On vera les sujets suivants: gradient d'un champ scalaire, rotationel et divergence d'un champ de vecteurs; intégrales curvilignes et de surfaces et le travail d'une force; les théorèmes de Green, Stokes et Gauss-Ostrogradsky.

Suites et séries.

Souvent dans les sciences on ne peut pas trouver une réponse précise à une question mais plutôt une méthode approximative, qui donne une suite de nombres x_1, x_2, x_3, x_4,… qu’on espère convergent vers la vrai réponse. Dans cette partie du cours, on étudie les suites. Qu’est-ce que ça veut dire converger? Comment peut-on garantir qu’une suite donnée a une limite? Un cas très important des suites est les séries. Ici on commence avec une suite x_1,x_2, x_3, … et on prend la somme des termes: x_1+x_2+x_3+… Quand est-ce que c’est possible de donner du sens à cette somme infinie? Un exemple classique: quelle est la valeur de 1/2 + 1/4 + 1/8 + … ? 

Les sujets qu'on va aborder sont: notion de la convergence, calcul des limites, théorème du sandwich, règle de l'Hospital, notion de la convergence d'une série, séries géométriques,  critères pour la convergence (comparaison, quotient, racine, séries altérnées), séries de puissances, rayon de convergence, séries de Taylor. 

Algèbre linéaire.

Imaginez que vous avez l’espace 3d, avec son origine et axes x,y,z. Votre collègue par contre a choisi des axes différent. Si vous avez le point qui correspond à (x,y,z) que sont les coordonnés de ce point pour votre collègue? Ceci est l’exemple d’une transformation linéaire et l’algèbre linéaire est l’étude de ces transformations. L’algèbre linéaire est parmi les domaines mathématiques le plus utilisé dans le monde de "réel", étant la base des méthodes d'optimisation.

On vera les sujets suivants: les espaces vectoriels, bases et composantes, changement de bases, applications linéaires, matrices, déterminants, valeurs et vecteurs propres et diagonalisation.

Vous serez capable de faire des calculs dans l'analyse vectorielle et l'algèbre linéaire, de manipuler les suites et séries et de trouver leurs limites. Ces outils mathématiques seront fondamentaux pour vos études scientifiques, ainsi qu'une carrière éventuelle dans n'importe quel métier quantitatif. 

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Cours co-requis

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Cours ayant celui-ci comme co-requis

Cours ex-cathedra, et séances d'exercises. 

Course notes

• Université virtuelle

Campus

Plaine

Method(s) of evaluation

• written examination

written examination

Language(s) of evaluation

• french