Abhishek MISHRA - Faculté des Sciences

Titre de la thèse: "Partially commutative polynomial optimisation and Semi-Device-Independent QKD"
Résumé:
Les relaxations basées sur l’optimisation semi-définie positive (SDP), et en particulier la hiérarchie
de Navascués–Pironio–Acín, constituent l’outil standard pour caractériser les corrélations que
peuvent produire les systèmes quantiques. Leur portée pratique demeure toutefois limitée par
la taille des relaxations engendrées. Or les opérateurs rencontrés en pratique sont rarement
dépourvus de structure : ils satisfont des relations algébriques habituellement imposées sous
forme de contraintes linéaires sur les variables de l’optimisation SDP. Cette thèse propose
d’absorber ces relations en travaillant directement dans l’algèbre quotient. Nous identifions une
classe importante de telles relations structurelles : les commutations partielles. En information
quantique, les paires d’opérateurs agissant sur des sous-systèmes disjoints commutent, tandis que
d’autres paires ne commutent pas nécessairement ; l’algèbre sous-jacente n’est donc ni entièrement
commutative ni entièrement libre, mais partiellement commutative. Ce travail développe la
théorie, l’implémentation logicielle et une application de l’optimisation polynomiale sur des
variables partiellement commutatives.
Nous présentons d’abord le cadre général de l’optimisation polynomiale partiellement commutative,
où les relations de commutation sont intégrées à l’algèbre plutôt qu’imposées comme contraintes
linéaires sur les moments. Les variables de la relaxation sont alors indexées par des classes
d’équivalence de mots, ce qui élimine du programme semi-défini les variables et les contraintes
redondantes. Nous en donnons des représentations concrètes, l’algèbre nécessaire à la construction
des matrices de moments et de localisation, ainsi qu’une extension traciale.
Nous étendons ensuite cette idée à des contraintes d’égalité plus générales que les commutations,
à travers une structure que nous appelons contraintes locales : les variables se répartissent en
groupes qui commutent soit totalement, soit pas du tout, et chaque contrainte ne porte que
sur un seul groupe. Nos résultats principaux sont deux théorèmes établissant que les bases de
Gröbner calculées indépendamment dans chaque groupe se recombinent en une base de Gröbner
de l’idéal global, avant comme après passage au quotient par les commutations. Il en découle que
des familles de contraintes omniprésentes en information quantique, dont les scénarios de Bell
multipartites arbitraires, ne nécessitent aucune complétion et peuvent être imposées directement
par substitution. Pour les contraintes binomiales générales, nous recourons aux systèmes de
réécriture de traces et montrons que l’ensemble des paires critiques — l’analogue des S-polynômes
— est infini dès que le monoïde n’est ni libre ni entièrement commutatif.
Ces méthodes sont implémentées dans PCPOP.jl, une bibliothèque Julia qui automatise les relaxations
semi-définies pour l’optimisation polynomiale commutative, non commutative, partiellement
commutative, traciale, d’état et de trace, avec des réductions algébriques, par symétrie et par
algèbres de Jordan ; nous l’illustrons sur des scénarios de Bell et de contextualité ainsi que sur
des calculs d’entropies conditionnelles.
Enfin, nous appliquons ces outils à la distribution quantique de clés semi-indépendante du
dispositif, sous l’hypothèse que la distinguabilité des états préparés par l’émetteur est limitée.
Nous montrons que BB84 et B92 admettent alors un modèle classique et ne peuvent produire
aucune clé, et nous identifions quatre protocoles « prepare-and-meesure » modifiés qui génèrent
un taux de clé positif. En minorant l’entropie de von Neumann conditionnelle par optimisation
polynomiale traciale, nous montrons que leurs taux de clé résistent au bruit dépolarisant et à
l’inefficacité de détection.