Antoine BRICMONT - Faculté des Sciences

Cette thèse étudie la compacité des solutions positives d’un problème elliptique semi-linéaire avec condition de Neumann, lorsque l’exposant non linéaire tend vers l’exposant critique de Sobolev en dimension trois. Le problème s’énonce comme suit :

−Δu_ε + a_εu_ε = u_ε^(p_ε) dans Ω,

∂_νu_ε = 0 sur ∂Ω,

avec Ω un ouvert lisse borné, p_ε ≤ 5, p_ε → 5 quand ε → 0, a_ε → a dans C⁰(Ω) et l’opérateur −Δ + a_ε coercif. L’objectif principal est de déterminer des conditions suffisantes sous lesquelles une famille de solutions (u_ε)_ε reste bornée dans C²(Ω) et converge vers une solution du problème limite critique.

La première étape majeure de cette thèse est la construction et l’analyse fine de la fonction de Green associée à l’opérateur −Δ + a avec condition de Neumann. On établit son existence, son unicité, sa symétrie, sa positivité et des estimations ponctuelles optimales, y compris au voisinage du bord. Ces résultats techniques sont essentiels pour l’étude du comportement asymptotique des solutions.

Le théorème principal que je démontre (Théorème 1.1) énonce que si la courbure moyenne du bord est strictement positive et si la masse de la fonction de Green associée au problème est strictement positive dans tout Ω, alors toute suite de solutions possède une sous-suite convergente dans C²(Ω). Autrement dit, il n’y a pas de phénomène d’explosion (blow-up) de la suite de solutions. Ce résultat unifie et généralise plusieurs travaux antérieurs.

La stratégie de preuve repose sur une analyse fine du blow-up. On montre que si une suite n’est pas compacte, elle doit concentrer son énergie en un nombre fini de points. Une analyse locale par changement d’échelle montre que la solution ressemble à une « bulle » standard. On utilise ensuite une identité de Pohozaev et les estimations précises de la fonction de Green pour relier la position des points où se concentrent les solutions à des quantités géométriques. On en déduit que, sous les hypothèses de courbure moyenne positive et de masse positive, le blow-up est impossible.

La thèse contient également des exemples concrets de domaines et de fonctions a_ε satisfaisant ces hypothèses. Elle est spécifique à la dimension trois, où les interactions entre bulles sont plus faibles que dans les dimensions supérieures, ce qui permet de mener l’analyse sans borne d’énergie a priori.