Lorenzo CARLETTI - Faculté des Sciences

Titre de la thèse: "Asymptotic analysis of nonlinear critical polyharmonic equations on manifolds: Optimal Sobolev constants and global compactness results in strong spaces "

Résumé:

Les équations différentielles dites elliptiques sont classiquement utilisées pour modéliser des phénomènes stationnaires, ou relaxés, dont l'état ne dépend pas du temps (la forme en vibration de la surface d'un tambour, la déformation d'un pont soumis à des contraintes, l'état d'équilibre des concentrations de différents composants d'une réaction chimique, etc.). Parmi celles-ci, les équations non-linéaires poly-harmoniques critiques sont l'exemple typique d'un cas où stationnaire ne signifie pas stable. Il s'agit d'équations aux dérivées partielles possédant deux termes en interaction: un opérateur différentiel linéaire elliptique, dont le terme principal est une puissance entière du laplacien, et un second membre non-linéaire critique au sens des injections de Sobolev, c'est à dire exactement au niveau où les outils classiques d'analyse cessent de fonctionner. La spécificité de ces équations vient du fait que, à cause de leur non-linéarité, elles peuvent admettre des suites de solutions dont l'énergie se concentre asymptotiquement en un ensemble discret de points, où ces solutions explosent ponctuellement sous la forme de ce qu'on appelle des bulles. L'une des grandes complexités dans l'étude des équations poly-harmoniques critiques est de comprendre sous quelles conditions peuvent se produire ces phénomènes de concentration d'énergie. 
  Dans cette thèse, nous avons étudié des situations où ces équations émergent naturellement, au travers de problèmes situés à la frontière des domaines de la géométrie différentielle et de l'analyse non-linéaire. Nous avons développé une approche flexible particulièrement adaptée à l'étude de problèmes d'ordre supérieur quelconque, qui restaient auparavant largement hors de portée. Cette méthode, basée sur l'analyse précise des suites de solutions autour de leurs points de concentration, nous a permis démontrer de nouveaux résultats dans des contextes qui semblaient à première vue éloignés: D'une part nous avons exploré le problème des constantes optimales pour des inégalités fonctionnelles critiques dans des espaces avec courbure. D'autre part nous avons identifié des nouvelles conditions de stabilité pour les équations poly-harmoniques critiques, sous perturbation de l'opérateur en jeu.
  Nos travaux mettent en évidence le lien profond entre géométrie et analyse dans l'étude des problèmes critiques. Dans chacune des situations étudiées, nous avons vu apparaître des phénomènes de concentration similaires, qui réduisent systématiquement la résolution du problème à une question centrale: Est-ce que ça bulle?