Maxime WEYTENS - Faculté des Sciences

Titre de la thèse: "Knots, Minimal Surfaces and G2 Geometry"

Résumé:
Cette thèse s’inscrit dans le programme plus vaste de construction d’invariants de noeuds qui catégorifierait les invariants de nœuds conjecturaux de J. Fine [Fin21]. Ces invariants seraient définis, en adaptant les idées de Donaldson et Thomas [DT96], via la construction d’une homologie de Floer pour une certaine fonctionnelle F agissant sur l’ensemble des surfaces de l’espace des twisteurs Z de l’espace hyperbolique de dimension quatre. Les points critiques de cette fonctionnelle sont les courbes pseudo-holomorphes et les graphes des lignes de flow du gradient sont des variétés associatives dans le produit Z × R de l’espace des twisteurs avec la droite réelle.

Ce travail est centré autour de l’étude de l’espace modulaire des sous-variétés associatives de Z × R, une première étape essentielle pour la construction de l’homologie de Floer susmentionnée. Les sous-variétés associatives spéciales que l’on considère ont, pour bord, un produit de la droite réelle avec le lift twistoriel d’un certain nœud (ou entrelacs) ainsi que deux courbes pseudo-holomorphes, qui sont les lifts twistoriels de surfaces minimales remplissant ce nœud.

Le premier résultat majeur de cette thèse démontre que cet espace modulaire admet une structure de variété lisse de dimension locale finie sous les conditions suivantes : le nœud asymptotique est régulier au sens de [Fin21] (une condition satisfaite de manière générique et qui garantit que les courbes pseudo-holomorphes sont non-dégénérées) ; la structure G₂ de Z × R est déformée en une structure G₂ régulière ; et à condition qu’une certaine conjecture naturelle de la théorie du calcul différentiel edge soit satisfaite.

Cette dernière hypothèse sur la théorie edge peut être retirée de la théorie en prenant le quotient de l’espace hyperbolique par un sous-groupe discret du groupe des isométries hyperboliques. Cette approche possède des avantages et des inconvénients qui sont discutés dans le manuscrit.

Le théorème le plus important de cette thèse exprime la dimension d’un sous-ensemble de l’espace modulaire des variétés associatives ci-dessus comme la différence entre les indices de Morse des surfaces minimales déterminées par les conditions aux bords. Ce théorème est démontré à l’aide d’un résultat de diagonalisation de la Hessienne de la fonctionnelle F, nécessitant une bonne compréhension de la structure géométrique de l’espace des twisteurs.