Pacôme VAN OVERSCHELDE - Faculté des Sciences

Cette thèse s’inscrit dans le cadre de la géométrie localement conformément symplectique (l.c.s.), qui généralise la géométrie symplectique en permettant l’étude de variétés ne possédant pas nécessairement de structure symplectique globale, mais admettant une version conforme locale. L’objectif principal de ce travail est de mieux comprendre la nature des relations entre géométrie l.c.s. et géométrie de contact.

Une première contribution est la construction d’une famille originale d’exemples appelés tores d’application l.c.s. Ceux-ci généralisent aux contactomorphismes arbitraires une construction auparavant définie uniquement pour les contactomorphismes stricts, permettant ainsi d’étudier, du point de vue de la géométrie l.c.s., les variétés de contact et leurs contactomorphismes.

Nous mettons en avant des phénomènes de nature quantitative propres à la géométrie l.c.s., que nous explorons à l’aide de la notion d’élasticité. Cette approche permet de caractériser les variétés l.c.s. du premier type — historiquement les plus étudiées — ainsi que les tores d’application l.c.s. en termes de cette nouvelle notion. Nous établissons ensuite un lien entre l’élasticité et un invariant de systèmes dynamiques, en déterminant les valeurs limites de l’élasticité d’un tore d’application l.c.s. en fonction de la moyenne de Birkhoff du facteur conforme de son contactomorphisme. Il en résulte une borne sur les extrema des différents facteurs conformes associés à un contactomorphisme, fournissant ainsi une condition nécessaire pour qu’un contactomorphisme soit strict.

Dans une seconde partie, nous proposons une construction de variétés l.c.s. exactes via un assemblage de cobordismes de Liouville et utilisons cette construction pour étudier les classes d’isomorphisme des tores d’application l.c.s. Nous établissons un critère nécessaire et un critère suffisant pour que les tores d’application l.c.s. associés à deux contactomorphismes soient isomorphes. Cela nous permet de généraliser en géométrie l.c.s. le résultat principal d’un article de Sylvain Courte, et de mettre en évidence des exemples de variétés de contact non isomorphes admettant des symplectisations conformes isomorphes, à condition que la forme de Lee soit suffisamment grande.