Paul Mansanarez - Faculté des Sciences

Ce travail porte sur l’étude de théorèmes limites en probabilités dans différents cadres, ainsi que sur une conjecture issue de la théorie de l’information. Nous distinguons cinq contributions principales.

Dans une première contribution, nous établissons un développement d’Edgeworth non asymptotique, à tout ordre, pour des variables aléatoires appartenant aux chaos de Wiener, sans hypothèse supplémentaire. Alors que les développements d’Edgeworth sont bien connus pour les sommes de variables aléatoires indépendantes, nous nous plaçons ici dans un cadre fortement non linéaire, pour lequel seuls quelques résultats partiels étaient jusqu’alors disponibles. Ces résultats s’inscrivent dans le cadre de la méthode de Malliavin–Stein et de l’approche de Nourdin–Peccati. La preuve repose sur les propriétés spectrales de l’opérateur d’Ornstein–Uhlenbeck sur l’espace de Wiener et se généralise au cadre plus large des chaos de Markov, introduit par Ledoux.

Dans une deuxième contribution, nous démontrons un principe d’invariance de Breuer–Major–Donsker pour les suites gaussiennes stationnaires, sous la seule hypothèse naturelle de finitude de la variance de la fonction test. Ce résultat améliore ceux de Nourdin et Nualart, qui supposaient que la fonction test satisfaisait une condition d’intégrabilité d’ordre p>2p>2. Notre preuve repose sur des outils différents du calcul de Malliavin et des inégalités de Meyer employés par Nourdin et Nualart. Nous utilisons une décomposition du processus des sommes partielles en une partie martingale et une partie prévisible. Nous exploitons également la notion de non-déterminisme, centrale en théorie de la prédiction gaussienne, notamment à travers la formule de Kolmogorov.

Dans une troisième contribution, nous établissons un résultat d’universalité pour le nombre de zéros — ou, plus généralement, le volume nodal — de polynômes trigonométriques à coefficients indépendants et identiquement distribués, lorsque leur loi commune appartient au domaine d’attraction d’une loi stable et que le degré des polynômes tend vers l’infini. Notre preuve repose sur une stratégie efficace consistant à adapter le choix des normalisations aux différentes étapes du raisonnement. Cette approche permet de s’affranchir de toute hypothèse de moments sur les coefficients, de telles hypothèses n’étant plus nécessairement satisfaites dans le cadre stable. Nous mettons également en évidence une méthode robuste permettant de déduire des résultats universels globaux à partir de résultats locaux, pour une classe plus large de coefficients. Notre résultat complète ainsi le théorème d’universalité locale d’Iksanov–Kabluchko–Marynych.

Dans une quatrième contribution, nous développons une variante de la méthode de Stein fondée sur la comparaison de générateurs, afin d’obtenir des bornes pour les distances de Kolmogorov, de variation totale et de Wasserstein-1 entre des lois définies sur la droite réelle. Nous obtenons une borne exprimée en fonction du rapport des taux de hasard inverses. Nous appliquons ensuite ces résultats à l’approximation de la loi de Fréchet par des maxima normalisés de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, dans le cadre de la théorie des valeurs extrêmes. Nos résultats complètent la littérature consacrée à l’application de la méthode de Stein à l’approximation des lois de valeurs extrêmes et fournissent, en particulier, des bornes pouvant être évaluées numériquement.

Dans une cinquième et dernière contribution, nous étudions les dérivées de l’entropie le long du flot de la chaleur associée à une variable aléatoire réelle. Notre analyse permet de mieux comprendre les propriétés combinatoires des polynômes multivariés apparaissant dans la représentation des dérivées de l’entropie obtenue par Ledoux. Nous mettons ainsi en évidence trois conditions portant sur des variables aléatoires symétriques, chacune d’entre elles impliquant la conjecture MMSE de Guo–Shamai–Verdú–Wu. Ces conditions couvrent notamment les cas de la loi uniforme symétrique et de la loi de Rademacher.