Calcul différentiel et intégral I

Premier semestre :

• Introduction et motivations.
• Les nombres réels. 
• Convergence des suites.
• Convergence des séries.
• Limite et continuité.
• Pour les fonctions d'une variable réelle : 
  • limite en un point,
  • continuité et propriétés des fonctions continues : Théorème des bornes atteintes, Théorème de l'intervalle et de la réciproque, Théorème de la valeur intermédiaire, 
  • dérivabilité, Théorème de la moyenne, règle de l'Hospital, approximation polynomiale et Théorème de Taylor, extrema, 
  • construction de l'intégrale de Riemann,
  • Théorème fondamental de l'analyse.
• Définition analytique de l'exponentielle, du logarithme et des fonctions trigonométriques. 

Deuxième semestre :

• Equations différentielles.
• Généralisation aux fonctions de plusieurs variables réelles de ce qui a été vu précédemment pour les fonctions d'une seule variable réelle.
• Courbes et intégrales curvilignes.
• Surfaces et analyse vectorielle.
• Théorèmes de Stokes, Green et la divergence.
• Théorème du point fixe de Banach, théorème de la fonction réciproque et des fonctions implicites.

Ce cours est la première partie du cours de Calcul différentiel et intégral, introduisant les méthodes, les idées et les outils de base en mathématique et en physique. A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable

• de résoudre certaines équations différentielles simples,

• de déduire des propriétés des nombres réels à partir de leurs axiomes,

• de déterminer si une suite ou une série converge et vers quel nombre,

• de décider si une fonction admet une limite quand tel ou tel paramètre tend vers une certaine valeur, et laquelle,

• de montrer que des fonctions provenants de contextes variés sont ou ne sont pas continues,

• de calculer les dérivées (directionnelles), le gradient, l'intégrale (curviligne) de fonctions décrites algébriquement,

• d'appliquer le théorème fondamental de l'analyse dans des situations diverses.

• de maîtriser les notions de bases telles que la convergence des suites et séries, la continuité, la dérivabilité, l'intégrale des fonctions d'une ou plusieurs variables réelles, la résolution d'équations différentielles du premier et du second ordre, les fonctions implicites et réciproques, les multiplicateurs de Lagrange et l'intégrale sur une courbe ou une surface.

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

La matière est vue en profondeur en reprenant tout depuis le début. Néanmoins un habitude des raisonnements mathématiques est un atout essentiel. 
 

Cours ayant celui-ci comme pré-requis

• Cours magistral (4h par semaine).
• Séances d'exercises (2h par semaine) et séances de travail en petits groupes (2h par semaine).

Références, bibliographie et lectures recommandées

Syllabus du cours disponible sur l'Université virtuelle et, en version papier, au PUB.

Autres références : (accessibles en ligne avec votre ULBID)

• Amann, Herbert ; Escher, Joachim. Analysis I. Birkhäuser Verlag, Basel, 2005.
• Amann, Herbert ; Escher, Joachim. Analysis II. Birkhäuser Verlag, Basel, 2008.
• Mawhin, Jean. Analyse : Fondements, techniques et évolution, 2e édition, De Boeck Université, 1997.
• Protter, Murray H. Basic elements of real analysis 1st ed. 1998. Springer
• Tao, Terence. Analysis I. Texts and Readings in Mathematics, 37. Hindustan Book Agency, New Delhi, 2006. 24, 29, 31
• Tao, Terence. Analysis II. Texts and Readings in Mathematics, 38. Hindustan Book Agency, New Delhi, 2006.

Support(s) de cours

• Syllabus
• Université virtuelle

Contacts

Mélanie Bertelson (2.O7.111) - melanie.bertelson@ulb.be (Q2)
Denis Bonheure (2.O7.101) - denis.bonheure@ulb.be (Q1)
Bruno Premoselli (2.O7.102) - bruno.premoselli@ulb.be (Q2)

Campus

Plaine

Méthode(s) d'évaluation

• Examen écrit

Examen écrit

Le titulaire se réserve le droit d’inviter tout étudiant.e à un entretien oral complémentaire afin de vérifier la maîtrise personnelle du contenu de l’examen remis, en particulier lorsque des incohérences constatées dans l’examen ne permettent pas au titulaire d’évaluer correctement le niveau de maîtrise des connaissances et des compétences visées par l’enseignement.

Toutes les informations sont disponibles dans le fichier ci-joint ou sur la page du cours dans l'UV. En bref :

• Un test est organisé durant la première semaine tampon, fin octobre. Son but principal est de permettre aux étudiants de se situer par rapport à la matière qui a été enseignée jusque là -- en général, la matière à connaître couvre les nombres réels et les suites -- ainsi que de se mesurer aux exigences et aux modalités d'une évaluation universitaire. Le test donne en outre jusqu'à deux points bonus dans la note du Q1. Une absence au test n’est pas pénalisante.  
• La maîtrise de la matière couverte durant le premier quadrimestre (théorie et exercices) est évaluée en janvier par un examen écrit. Un rattrapage, non obligatoire, est organisé en mai/juin. 
• La maîtrise de la matière couverte durant le second quadrimestre (théorie et exercices) est évaluée en mai/juin par un examen écrit. 
• Pour les étudiants qui n'auraient pas réussi le cours à l'issue de la période d'évaluation de mai/juin, un examen écrit est organisé pour chaque partie en août/septembre (il est impératif de s'y inscrire).
   

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

La note finale est la moyenne des notes obtenues pour le premier quadrimestre et pour le second, à condition qu'elles soient toutes les deux supérieures ou égales à 7/20. Sinon, la note est plafonnée à 7/20.

Une note partielle supérieure ou égale à 10 est automatiquement conservée de session en session (y compris au delà de l'année académique en cours). Une note strictement inférieure à 10 ne peut pas être conservée d'une session à l'autre même au cours d'une même année académique. 

Le détail des règles de calcul et de report des notes peut être consulté dans le fichier ci-joint ou sur l'UV.

Langue(s) d'évaluation

• français