Compléments de mathématiques

Contenu du cours

1) La transformation de Legendre et le différentiel

2) Les probabilités (densités de probabilité, la loi normale, la position et la dispersion d’une variable, les sommes et les multiples de variables)

3) Les systèmes dynamiques (la modélisation, le plan des phases, les systèmes linéaires, le comportement près d'un point d'équilibre, les systèmes hamiltoniens, le théorème de Liouville)

4) Solutions d’équations différentielles en termes de séries et d’intégrales (les changements de variable, les symétries, la méthode de Frobenius, les solutions intégrales)

5) Les séries de Fourier (les fonctions périodiques, le réseau et le réseau réciproque (aussi en 3D), les séries de Fourier, propriétés, convergence, forme réelle, les symétries interdites d’un réseau périodique, le calcul numérique)

6) La transformation de Fourier (définition, exemples, propriétés, interprétation, la gaussienne, la formule d’inversion, l’échantillonnage, le spectrogramme, relation avec séries de Fourier, la relation d'incertitude de Heisenberg)

7) La convolution (définition, interprétation, exemples, propriétés, la convolution en probabilités, la masse de Dirac, la convolution en imagerie, l'autocorrélation)

8) L'équation de diffusion (l’équation de la chaleur, la solution fondamentale, la solution sur la droite, sur la demi-droite, dans le plan, la séparation des variables)

9) Les espaces hilbertiens (les fonctions de carré sommable, les bases orthonormées, les opérateurs linéaires, les valeurs/fonctions propres, les opérateurs commutants)

10) Les polynômes d’Hermite et l’oscillateur harmonique quantique (polynômes et fonctions d'Hermite, propriétes, l'oscillateur harmonique quantique)

11) Les fonctions harmoniques sphériques (le laplacien en coordonnées sphériques, les fonction harmoniques sphériques, fonctions propre du laplacien angulaire, parité, relations de récurrence, les polynômes de Legendre)

12) L’atome d’hydrogène en mécanique quantique (les polynômes de Laguerre, l’équation de Schrödinger, le potentiel central, les états liés de l’atome d’hydrogène)

Objectifs (et/ou acquis d'apprentissages spécifiques)

A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable de
1) comprendre et manipuler la transformation de Legendre et le différentiel
2) comprendre les densités de distribution en probabilités
3) modéliser une évolution temporelle par un système dynamique, résoudre un système dynamique linéaire, comprendre le plan de phase et le théorème de Liouville
4) comprendre la méthode de Frobenius
6) écrire la série de Fourier d'une fonction simple, dessiner un réseau et le réseau réciproque en 2D
7) manipuler quelques intégrales de Fourier et dessiner quelques transformées simples en 2D
8) comprendre l'importance de la transformation de Fourier en chimie théorique et expérimentale
9) de comprendre le rôle de la convolution en sciences expérimentales et en probabilités
10) comprendre la description mathématique de la diffusion
11) vérifier si certaines si une fonction est une fonction propres d'un opérateur
12) manipuler les polynômes d'Hermite
13) utiliser les harmoniques sphériques et les polynômes de Legendre
14) séparer les variables dans l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques

Dans le contexte des matières du cours, l’étudiant sera capable d’interpréter et de produire des contenus mathématiques (tels que textes, schémas et formules) comportant une variété de notations (minuscules et majuscules, italiques, gras, lettres latines et grecques, chiffres, symboles, etc.), présentées dans des polices et tailles courantes.

Pré-requis et Co-requis

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

Mathématiques générales (coordonnées cartésiennes, fonctions, dérivées, intégrales, matrices, déterminants)

Cours pré-requis

Cours ayant celui-ci comme co-requis

Méthodes d'enseignement et activités d'apprentissages

Cours théorique et séances d'exercices dirigés.

Références, bibliographie et lectures recommandées

Syllabus en vente aux PUB et disponible en version pdf sur l’UV. Ce syllabus contient une bibilographie détaillée.

Support(s) de cours

Syllabus
Université virtuelle

Contribution au profil d'enseignement

– Acquérir, assimiler et exploiter des savoirs de base en mathématiques, physique, chimie, biologie et sciences de la terre

– Développer des savoirs transversaux

– Collecter, analyser et synthétiser les connaissances

– Identifier les problèmes et formuler des questions scientifiques

– Résoudre des problèmes

– Faire preuve d’ouverture intellectuelle

Autres renseignements

Informations complémentaires

Contacts

Prof. Ignace Loris: Ignace.Loris@ulb.be, local 2.O.7.107, Teams, ...

Campus

Plaine

Evaluation

Méthode(s) d'évaluation

Examen écrit

Examen écrit

Question ouverte à réponse courte
Question ouverte à développement long
Question fermée à Choix Multiple (QCM)
Question visuelle
Question fermée Vrai ou Faux (V/F)

Un examen intégré comprenant des questions de théorie et des questions de calcul. Exceptionnellement (pandémie, session ouverte, ...) l'examen écrit pourrait être remplacé par un examen oral.

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Une note sur 20 sera donnée à l'issue de l'examen écrit. Il n'y a pas de notes partielles.

Langue(s) d'évaluation

français

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