Optimisation

0) Notions préliminaires (infimum, supremum, l'inégalité sup-inf, les problèmes d'optimisation, ...)

1) Introduction à la géométrie convexe (ensembles convexes, projection, séparation, cônes, ...)

2) La programmation linéaire (définition, exemples, forme standard, points extrêmes et solutions de base, l’algorithme du simplexe, dualité, écarts complémentaires, sensitivité, applications: le transport optimal, théorème du minimax, théorème du flot-max/coupe-min, ...)

3) Introduction à l'analyse convexe (fonctions convexes, épigraph, caractérisations, propriétés, le sous-différentiel, ...)

4) La transformation de Fenchel (motivation, définition, exemples, propriétés, la dualité Fenchel, ...)

5) La programmation non linéaire (problèmes sans contraintes, problèmes avec contraintes, les conditions de Karush-Kuhn-Tucker, conditions du second ordre, application à la commande optimale, ...)

6) La dualité Lagrangienne (le Lagrangien, le problème dual, les conditions de Slater, les points de selle, interprétation des multiplicateurs de Lagrange, application: le meilleur hyperplan séparant deux ensembles de points,...)

A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable de

1) comprendre et d'utiliser les propriétés des ensembles et des fonctions convexes

2) modeliser des problèmes en termes de programmes linéaires

3) résoudre des programmes linéaires simples à l'aide de l'algorithme du simplexe

4) comprendre et de calculer des transformées de Fenchel

5) transformer certains problèmes convexes en version duale

6) formuler les conditions KKT de problèmes non linéaires

7) écrire le Lagrangien et le problème dual correspondant à un problème avec contraintes

8) identifier certains problèmes dans d'autre disciplines comme problème d'optimisation

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

cours d'analyse (continuité, différentiabilité, fonctions à plusieurs variables, gradient, ensembles ouverts/fermés/compacts...) et d'algèbre linéaire (espaces vectoriels, matrices, produits scalaires, ...)

Cours pré-requis

Cours ex-cathedra et exercices dirigés

Contribution au profil d'enseignement

1. Acquérir et exploiter un savoir
1.1. S'approprier les concepts fondamentaux en mathématique.
1.2. Assimiler les notions de base en algèbre, analyse, géométrie.
1.3. Analyser, synthétiser et relier les connaissances et les différentes branches des mathématiques.
1.4. Maîtriser les principes du raisonnement logique et être capable de fonder sur ceux-ci une argumentation sans faille.
1.6. Identifier un cadre mathématique sous-jacent à un problème donné.
1.7. Se familiariser à diverses méthodes de modélisation.

2. Comprendre les spécificités de la démarche scientifique et la pratiquer
2.1. Comprendre des critères de rigueur, une argumentation, des techniques de démonstration.
2.4. Comprendre un processus d'études de données et de modélisation.
2.5. Comprendre le rôle parfois simplificateur du processus de généralisation d’une théorie.
2.6. Comprendre l’intérêt de l’unification de théories existantes.
2.7. Identifier des questions qui se posent au sein d’une théorie.
2.8. Explorer les conséquences d’un résultat mathématique.

3. Communiquer
3.3. Utiliser un langage clair et rigoureux, adapté au public-cible.

4. Ethique et relation avec la société
4.3. Apprendre à pratiquer l’autocritique relativement à la validité d’un argument.

Références, bibliographie et lectures recommandées

R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. Princeton University Press, 1970.
J. B. Hiriart-Urruty and C. Lemarechal. Convex analysis and minimization algorithms. Springer, 1993.
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.
Dimitri P. Bertsekas. Convex Optimization Theory. Athena Scientific, 2009.
Jorge Nocedal and Stephen J. Wright. Numerical Optimization. Springer, 2 edition, 2006.
Amir Beck. Introduction to nonlinear optimization. SIAM, 2014.

Support(s) de cours

• Syllabus
• Université virtuelle

Informations complémentaires

Un syllabus (pdf) est disponible sur l'UV.

Contacts

mail (Ignace.Loris@ulb.be), rdv Teams ou en personne au bureau du titulaire (campus Plaine, bâtiment NO, local 2.O7.107)

Campus

Plaine

Méthode(s) d'évaluation

• Examen écrit
• Examen oral

Examen écrit

Examen oral

examen écrit sur les exercices et  examen oral sur la théorie.

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Examen oral (théorie, typiquement 20-30 minutes par étudiant).

Examen écrit (exercices).

Pondération: théorie (50%), exercices (50%).

Langue(s) d'évaluation

• français