Differential geometry II

Rappel des notions de base.

Revêtements et actions proprement discontinues.

Distributions, théorème de Fröbenius, feuilletages et structures de contact.

Formes différentielles et cohomologie de de Rham.

Intégration et Théorème de Stokes.

Introduire l'étudiant à des sujets plus avancés de géométrie différentielle, tels que les feuilletages, les formes différentielles et la cohomologie de de Rham, et montrer la version générale du fameux théorème de Stokes.
 

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

Il est nécessaire, pour être à même de suivre ce cours, d'avoir eu un premier cours de géométrie différentielle, tel que MathF310, couvrant au minimum les notions suivantes:

• variété lisse intrinsèque
• application lisse entre deux variétés
• vecteur tangent et espace tangent en un point d'une variété
• champ de vecteurs et son flot
• différentielle d'une application lisse
• immersions, submersions et leur formes locales
• sous-variétés immergées et plongées.

Cours ayant celui-ci comme co-requis

Cours théorique (24h) et séances d'exercices (24h), tout deux en anglais. Des devoirs seront donnés toutes les trois semaines. Ils seront corrigés et la note interviendra pour un quart de la notre finale (voir plus de détails plus bas).

Références, bibliographie et lectures recommandées

• Lee, Jeffrey. Introduction to smooth manifolds. Springer, Graduate texts in mathematics, 2003.
• Bott, Raoul & Tu, Loring. Differential forms in algebraic topology. Springer, Graduate texts in mathematics, 1982.
• Hirsch, Morris W. Differential topology. Corrected reprint of the 1976 original. Graduate Texts in Mathematics, 33. Springer-Verlag, New York, 1994.  
• Lang, Serge. Introduction to differentiable manifolds. Second edition. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2002. 
• Milnor, John. Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R.Wells. Annals ofMathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
• Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. V. Second edition. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1979.
• Warner, Frank W.Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983. 
• Donaldson, Simon. Riemann surfaces, Oxford Gradaute Texts in Mathematics, 22. Oxford University Press, Oxford, 2011.

Support(s) de cours

• Syllabus
• Université virtuelle

Informations complémentaires

L'usage de l'IA, que ce soit pour étudier ou pour résoudre les exercices ou les problèmes est fortement découragée.

Contacts

Mélanie Bertelson (2.O7.111) - Melanie.Bertelson@ulb.be.

Friso van Dijk (2.O7.213) - friso.van.dijk@ulb.be.

Campus

Plaine

Méthode(s) d'évaluation

• Travail personnel
• Examen écrit

Travail personnel

Examen écrit

Examen écrit de 3 heures comportant des questions de théorie et des exercices, et devoirs comportants des problèmes proposés toutes les trois semaines. Les questionnaires seront rédigés en anglais mais les réponses peuvent être rédigées en français.

Le titulaire se réserve le droit d’inviter tout étudiant.e à un entretien oral complémentaire afin de vérifier la maîtrise personnelle du contenu de l’examen remis, en particulier lorsque des incohérences constatées dans l’examen ne permettent pas au titulaire d’évaluer correctement le niveau de maîtrise des connaissances et des compétences visées par l’enseignement. 

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

L'examen donnera lieu à une note sur 15 points N_e.
Les devoirs donneront lieu a une note sur 5 points N_d.
La note finale est la somme de ces deux notes, à condition que l'examen soit réussi, c'est-à-dire que la note pour l'examen soit supérieure à 7,5/15. Si ce n'est pas le cas, seule la note de l'examen compte, c'est-à-dire que la note finale sera égale à 4/3 N_e.

Langue(s) d'évaluation

• anglais
• (éventuellement français )