Stochastic processes and complex systems

Ce cours constitue une introduction aux processus stochastiques et à leur rôle dans l'étude des systèmes complexes. Les processus aléatoires interviennent dans de nombreux domaines de la science contemporaine, depuis le mouvement brownien et la physique statistique jusqu'à la dynamique des populations, l'épidémiologie, la finance quantitative ou les sciences de l'ingénieur.

Le cours introduit les principaux niveaux de description des processus stochastiques à travers des modèles simples mais fondamentaux. À partir d'exemples de chaînes de Markov et de modèles d'urnes, nous développerons successivement l'équation maîtresse de Kolmogorov, l'équation de Fokker-Planck et l'équation de Langevin, qui constituent la colonne vertébrale de la théorie moderne des processus stochastiques.

Nous étudierons ensuite les notions fondamentales de mouvement brownien, de bruit blanc et de processus de Wiener, qui conduisent naturellement à l'intégration stochastique et aux formulations d'Itô et de Stratonovich.

Tout au long du cours, l'accent sera mis sur les liens entre descriptions microscopiques et macroscopiques, ainsi que sur la manière dont des comportements collectifs complexes peuvent émerger à partir de mécanismes aléatoires simples.

Les processus stochastiques occupent une place centrale dans de nombreux domaines de la science contemporaine, notamment en physique statistique, mais aussi en biologie, en chimie, en ingénierie et dans l'étude des systèmes complexes.

L'objectif de ce cours est de fournir aux étudiants les outils conceptuels et mathématiques fondamentaux de la théorie des processus stochastiques, ainsi qu'une compréhension des liens qui unissent les différentes descriptions des phénomènes aléatoires, depuis les dynamiques microscopiques jusqu'aux équations d'évolution continues.

À l'issue du cours, les étudiants seront capables d'analyser et de modéliser des systèmes stochastiques simples, de manipuler les principaux outils de la discipline (chaînes de Markov, équations maîtresses, équations de Fokker-Planck et de Langevin, calcul stochastique) et d'aborder de manière autonome la littérature scientifique sur le sujet.

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

Le cours suppose une connaissance de base du calcul différentiel et intégral, de l'algèbre linéaire, de la théorie des probabilités et de la physique statistique. Une familiarité avec la programmation scientifique (Python ou tout autre langage comparable) est recommandée.

La partie théorique du cours se compose de douze séances de deux heures. Au-delà de l'introduction des concepts fondamentaux de la théorie des processus stochastiques, le cours met l'accent sur les liens entre différents niveaux de description des systèmes aléatoires et sur des développements plus récents inspirés de la recherche contemporaine.

Des exercices et problèmes sont proposés régulièrement afin de favoriser une compréhension active de la matière et d'encourager les étudiants à développer leur propre intuition des phénomènes aléatoires. Les solutions remises contribuent à l'évaluation finale.

Les notes de cours, lectures recommandées, énoncés d'exercices et autres ressources pédagogiques sont mis à disposition via l'Université Virtuelle (UV).

Références, bibliographie et lectures recommandées

• C W Gardiner, Stochastic Methods (Springer 2009)
• N G van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry (Elsevier 2007)
• W Horsthemke et R Lefever, Noise-Induced Transitions (Springer 1984)

Support(s) de cours

• Université virtuelle
• Syllabus

Contacts

thomas.gilbert@ulb.be
Campus Plaine, bâtiment NO, 5e étage, bureau P.2.O5.105

Campus

Plaine

Méthode(s) d'évaluation

• Evaluation continue
• Examen oral

Evaluation continue

Examen oral

• Examen avec préparation

• Devoirs hebdomadaires, remis tout au long du quadrimestre, et comptant pour 50 % de la note finale.
• Examen oral final, comprenant une phase de préparation écrite suivie d'une discussion, et comptant pour les 50 % restants de la note finale.

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Correction des exercices (1/2) et examen oral (1/2)

Langue(s) d'évaluation

• anglais
• (éventuellement français )