Mohammadamin EBRAHIMI - Faculté des Sciences

Cette thèse étudie les métriques d’Einstein asymptotiquement hyperboliques (ou métriques de Poincaré–Einstein, PE), plus précisément celles qui sont anti-autoduales (asd–PE). Ces métriques apparaissent naturellement en géométrie différentielle et en physique théorique, notamment dans le cadre de la correspondance AdS/CFT.

Les métriques PE généralisent la métrique hyperbolique. La théorie de leurs déformations est bien comprise, et l'espace des modules de ces métriques est une variété de Banach de dimension infinie. Cependant, les métriques asd–PE obéissent à des conditions plus strictes (Einstein + W⁺ = 0), qui constituent un système surdéterminé.

Pour contourner cette difficulté, cette thèse adopte une approche par la théorie de jauge développée par Fine et Krasnov : Au lieu de travailler avec les métriques directement, on étudie des connexions SO(3) dites « parfaites », qui jouent le rôle de “potentiels” des métriques asd–PE. Cette perspective permet de reformuler les équations Einstein en termes de théories de jauge.

On démontre qu'au voisinage d'une connexion parfaite donnée, l'espace de ces connexions est une variété de Banach lisse.

Grâce à un résultat d’immersion, on montre que l’espace des métriques asd–PE forme est une sous-variété immergée de l’espace des métriques PE. Cela constitue le résultat principal de ce travail.

Enfin, ce formalisme ouvre enfin la voie à la construction de nouveaux exemples de métriques asd–PE, dont peu d'exemples sont connus aujourd'hui.