Géométrie différentielle I

La géométrie différentielle est un domaine où l'on utilise des outils du calcul différentiel pour étudier des propriétés géométriques et vice versa. Le point de départ est l'étude des variétés différentiables; celles-ci  forment une classe d'espaces géométriques suffisamment réguliers pour qu'on puisse y définir des notions de dérivation.

Les variétés dans Rⁿ, telles que la sphère S^n-1 sont introduites dans les cours de calcul différentiel et intégral. Leur définition nécessite l'existence de l'espace Rⁿ ambiant. 

Nous allons définir et étudier des variétés  de manière intrinsèque, c'est-à-dire pour des objets qui n'apparaissent pas a priori contenus dans un espace plus grand. Cette approche plus abstraite est de premier abord plus difficile,  en particulier en ce qui concerne la notion de plan tangent en un point.

On ne peut espèrer obtenir que des coordonnées valables localement sur une variété différentiable, c'est-à -dire au voisinage d'un point. On devra  disposer de plusieurs jeux de coordonnées locales afin de décrire une variété différentiable globalement. Les interactions entre les propriétés locales et globales constituent un thème récurrent en géométrie différentielle. L'utilisation de coordonnées locales sur une variété permettra de généraliser le calcul différentiel et intégral de Rⁿ à ces espaces plus généraux.

Ce premier cours de géométrie différentielle se focalisera sur les fondements du calcul différentiel pour les variétés différentiables.

La table des matières est:

1. Variétés différentiables
2. Espace Tangent
3. Sous-variétés
4. Passage du local au global
5. Champs de vecteurs
6. Formes Différentielles

Ce cours est la première partie du cours de Géométrie Différentielle. En particulier, les concepts de base (variétés, espace tangent, champs de vecteurs,...) apparaissant dans divers domaines des mathématiques et en physique seront abordés et développés.
À la fin de cet enseignement, les étudiants seront capables de

• Décider si un espace topologique donné et une variété;
• Calculer la Différentielle d'une application entre variétés lisses et trouver ses points critiques;
• Calculer certaines courbes intégrales de champs de vecteurs;
• Décrire les propriétés de groupes à 1-paramètre de difféomorphismes

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

MATH-F201    Calcul différentiel et intégral II
MATH-F211    Topologie

Cours pré-requis

Cours co-requis

Cours théoriques
Séance d'exercices en groupe

Références, bibliographie et lectures recommandées

D.Barden, C.Thomas. An introduction to differential manifolds, Imperiall College Press.
J.Lee. Introduction to smooth manifolds, Springer Verlag.
L.Tu. An introduction to manifolds, Springer Verlag.
A.Shastri. Elements of differential topology, CRC Press.

Support(s) de cours

• Syllabus
• Université virtuelle

Contacts

jean.gutt@ulb.be

Campus

Plaine

Méthode(s) d'évaluation

• Travail personnel
• Examen écrit
• Autre

Travail personnel

Examen écrit

• Question ouverte à réponse courte
• Question ouverte à développement long
• Question fermée à Choix Multiple (QCM)

Autre

Examen écrit, Travail personnel éventuel, Mini-test éventuel durant le semestre

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

La note finale sera composée par entre 80 et 100% par la note de l'écrit, entre 0 et 20 % par la note des devoirs (éventuels) et entre 0 et 10 % par la note des mini-tests (éventuels)

Langue(s) d'évaluation

• français
• (éventuellement anglais )