Algèbre catégorique

Contenu du cours

La première partie du cours concerne une introduction dans la théorie des catégories.
Après une brève introduction à la théorie des ensembles, on introduit la notion d'une catégorie. Ce notion permet de parler sur des différents théories mathématiques, comme la théorie des anneaux, la topologie, la théorie des groupes, etc, en même temps. En effet, une categorie consiste de (par exemple) "tous" les groupes, où un groupe est traité comme un "objet" non-spécifié, et les morphismes jouent un rôle plus important. Puis on introduit des "morphismes des catégories", qu'on appelle des foncteurs, et des "morphismes des foncteurs" qu'on appelle des transformations naturelles. Il fournit de nombreux exemples pour illustrer ces concepts apparaitra partout en mathématique. La théorie des catégories commence vraiment, au moment qu'on fait des constructions dans une categorie et on étudie des objet et foncteurs ayant des propriétés spéciaux. Plus spécifiquement, on étudie des limites et des colimites (comme les (co)produits et les (co)egalisateurs) et des foncteurs adjoints.

Dans la deuxième partie du cours nous traitons une "application" de la théorie des catégories dans l'algèbre et/ou la géométrie. Pour cette partie il y a plusieurs possibilités, dépendant de l'intérêt des étudiants:
. La théorie des monades et la monadicité des foncteurs, avec une application sur la théorie de la descente.
. Les théories des champs quantiques topologiques: cette théorie permet de calculer des invariantes pour des variétés topologiques, motivé par la physique quantique.
. Les catégories abéliennes et catégories de grothendieck, et leur importance dans la géométrie algébrique et l'algèbre homologique.

Objectifs (et/ou acquis d'apprentissages spécifiques)

A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable de montrer le lien entre différents théories mathématiques par monter à un niveau d'abstraction plus élevé. Il maîtrisera les notions de base du théorie des catégories et peut illustrer ces notion avec nombreuses exemples de l'algèbre, la géométrie, la topologie, etc. Au fin du cours, un étudiant sera capable de reconnaître des différents structures catégoriques dans des modèles mathematiques. Ils peut faire des calculs avec des constructions compexes dans l'algèbre catégoriques.

Méthodes d'enseignement et activités d'apprentissages

Cours oral

Références, bibliographie et lectures recommandées

Des notes de cours sont disponible sur UV.

Mac Lane, Saunders, Categories for the working mathematician. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 5. Springer-Verlag, New York, 1998. xii+314 pp. ISBN: 0-387-98403-8

Borceux, Francis, Handbook of categorical algebra. 1-3. (English summary)

Basic category theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50-51.

Support(s) de cours

Syllabus
Université virtuelle

Contribution au profil d'enseignement

1. Constituer, développer et entretenir des connaissances dans différents domaines des sciences mathématiques

1.1. S'approprier les concepts fondamentaux de certaines branches récentes des mathématiques.

1.2. Acquérir des notions avancées de domaines des mathématiques.

1.3. Analyser, synthétiser, relier les connaissances de différentes branches des mathématiques.

2. Résoudre des problèmes en acteur scientifique

2.1. Mettre en pratique des critères de rigueur, une argumentation, des techniques de démonstration.

2.2. Dégager un concept à partir d'observations ou d’exemples.

2.3. Elaborer un processus d’abstraction ou une étude soit de données soit d’exemples en vue du développement d’une théorie ou d’un modèle.

3. Concevoir et mettre en œuvre de manière autonome des projets de recherche scientifique

3.1. Explorer les conséquences d’un résultat mathématique.

3.2. Mettre en relation des théories existantes.

3.3. Identifier des questions qui se posent au sein d’une théorie.

4. Communiquer dans un langage adapté au contexte et au public

4.1. Utiliser un langage clair et rigoureux.

4.3. Rédiger un résultat ou une théorie mathématique.

4.4. Présenter oralement de manière claire, concise et convaincante les résultats d’un travail.

5. Se développer, dans un souci du respect des questions éthiques liées à son domaine d’expertise

5.1. Exploiter ses connaissances, son imagination et sa créativité.

5.2. Pratiquer la critique relativement à la validité d’une affirmation.

5.3. Rendre crédit aux auteurs originaux et prohiber toute forme de plagiat.

Autres renseignements

Contacts

Joost Vercruysse. Email: jvercruy@ulb.ac.be, bureau 2.O8.104 (Plaine).

Campus

Plaine

Evaluation

Méthode(s) d'évaluation

Examen oral

Examen oral

Examen oral avec préparation écrite

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Note sur 20 pour l'examen final.

Langue(s) d'évaluation

français
(éventuellement anglais )

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