Mathématiques 2

Contenu du cours

1) Les espaces numériques et les applications linéaires (motivation, combinaisons linéaires, indépendance linéaire, la factorisation matricielle, les systèmes d’équations linéaires, changements de base, les applications linéaires);
2) Les espaces euclidiens (distances et produits scalaires, clustering, bases orthonormées, le procédé de Gram-Schmidt, le théorème fondamental de l'algèbre linéaire);
3) Les moindres carrés (motivation et définition, la solution des moindres carrés, l’ajustement de courbe);
4) Les valeurs propres (motivation, définition, calcul, la décomposition spectrale, matrices commutantes, le quotient de Rayleigh, la décomposition en valeurs singulières, meilleure approximation de rang k, la réduction de dimension);
5) Les suites (définition, exemples, récurrences, convergence, les point fixes, le comportement asymptotique de la factorielle);
6) Les séries (définition, exemples, les séries de puissances, la manipulation pratique des séries de puissances, les séries exponentielles, géométriques et binomiales);
7) Les fonctions de plusieurs variables (la formule de Taylor, la dérivation en chaine, la dérivation implicite, l'optimisation sous contrainte, dériver sous le signe de l'intégrale, la transformation de Legendre, la différentielle);
8) L’analyse vectorielle (champs scalaires et champs vectoriels, gradient, rotationnel, divergence, la décomposition de Helmholtz);
9) L'operateur laplacien (définition, interprétation, l’équation des ondes en 3+1 variables, ondes planes et ondes sphériques, l'interférence);
10) L’intégration de champs scalaires (la paramétrisation d’une courbe,l’intégrale curviligne d’un champ scalaire,la paramétrisation d’une surface,l’intégrale de surface d’un champ scalaire, l’intégrale de volume d’un champ scalaire (rappel));
11) L’intégration de champs vectoriels (l’intégrale curviligne d’un champ vectoriel, le flux d’un champ vectoriel, le théorème de Stokes, le théorème de Gauss, tableau récapitulatif d’intégrales)

Objectifs (et/ou acquis d'apprentissages spécifiques)

A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable de
1) comprendre l'intérêt des espaces numeriques en sciences et sciences appliquées;
2) vérifier l'indépendance linéaire et de calculer des bases associées aux sous-vectoriel fondamentaux d'une matrice;
3) comprendre l'intérêt d'une distance dans Rⁿ, par exemple pour le clustering de données;
4) de calculer la solution au moindres carrés d'un système incohérent et de l'appliquer à l'ajustement de courbe;
5) de calculer les valeurs et les vecteurs propres d'une matrice de petite taille;
6) de comprendre l'intérêt des valeurs singulières en sciences;
7) de déterminer la convergence ou non d'une suite;
8) de manipuler les series de puissances;
9) d'utiliser les dérivées partielles dans de diverses situations;
10) de décrire les courbes et les surfaces à l'aide de formules précises;
11) de comprendre et de manipuler les opérateurs différentiels gradient, divergence, rotationnel et laplacien;
12) de calculer des intégrales curvilignes et de surface.
Dans le contexte des matières du cours, l’étudiant sera capable d’interpréter et de produire des contenus mathématiques (tels que textes, schémas et formules) comportant une variété de notations (minuscules et majuscules, italiques, gras, lettres latines et grecques, chiffres, symboles, etc.), présentées dans des polices et tailles courantes.

Pré-requis et Co-requis

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

Mathématiques générales (fractions, nombres réels, fonctions, dérivées, intégrales)

Cours pré-requis

Cours co-requis

Cours ayant celui-ci comme pré-requis

Cours ayant celui-ci comme co-requis

Méthodes d'enseignement et activités d'apprentissages

Cours théorique et séances d'exercices dirigés.

Références, bibliographie et lectures recommandées

Syllabus en vente aux PUB et disponible en version pdf sur l’UV. L'annexe du syllabus contient une bibliographie avec références à la BST.

Support(s) de cours

Syllabus
Université virtuelle

Contribution au profil d'enseignement

Bachelier en sciences chimiques:
1.1. Acquérir, assimiler et exploiter des savoirs de base en mathématiques, physique, chimie, biologie et sciences de la terre
1.3. Développer des savoirs transversaux
1.4. Collecter, analyser et synthétiser les connaissances
2.1. Identifier les problèmes et formuler des questions scientifiques
2.9. Résoudre des problèmes
3.1. Faire preuve d’ouverture intellectuelle

Bachelier en sciences géographiques
1.1. Acquérir une culture transdisciplinaire et créer des liens entre différents domaines du savoir
1.2. Maîtriser des savoirs scientifiques de base, tant en sciences exactes qu'en sciences humaines et sociales
1.4. Se former à la pensée critique
1.6. Apprendre à utiliser de manière autonome les technologies de l’information et la communication
2.1. Développer des savoirs et des compétences dans les domaines liés aux sciences de la terre et de l'environnement
2.5. Développer des savoirs et des compétences en matière d'analyse et de traitement de l'information géographique
2.6. Se familiariser avec les méthodes de traitement et d'analyse de données spatiales et la critique des sources
3.2. Apprendre à construire une argumentation scientifique

Bachelier en sciences géologiques
1.2. S'approprier les concepts scientifiques et les connaissances fondamentales de sa discipline, et des disciplines connexes
2.4. Maîtriser les techniques d’échantillonnage et se familiariser aux techniques de mesure et de traitements statistiques des données
3.2. Acquérir, analyser, critiquer et interpréter des données sur base statistique notamment
3.4. S’initier à concevoir une modélisation
4.2. Développer une argumentation scientifique
4.3. Utiliser un langage adapté au public-cible
5.1. Etre responsable de ses affirmations

Bachelier en sciences de l'ingénieur, orientation bio ingénieur
1. Mobiliser de manière critique un corpus de savoirs et de savoir-faire (connaissances, méthodes et techniques, modèles et processus) en sciences naturelles, en sciences humaines et en techniques de l’ingénieur dans les domaines agronomique, biologique, chimique et environnemental dans le but de formuler, analyser et résoudre un problème multidisciplinaire dans le domaine de l’ingénierie du vivant.
5. Mobiliser sur un même objet le langage graphique (le schéma), le langage symbolique (formules et équations), et le langage formel (les mots) en passant sans difficulté de l’un à l’autre.

Autres renseignements

Contacts

mail/Teams : Ignace.Loris@ulb.be
bureau: campus Plaine, bâtiment NO, local 2.O7.107

Campus

Plaine

Evaluation

Méthode(s) d'évaluation

Examen écrit

Examen écrit

Question ouverte à réponse courte
Question ouverte à développement long
Question fermée à Choix Multiple (QCM)
Question visuelle
Question fermée Vrai ou Faux (V/F)

Dans certains cas très particuliers (force majeure, session ouverte, ...) l'examen écrit peut être remplacé par un examen oral.

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Il s'agit d'un examen intégré comprenant des questions de théorie et des questions de calcul. Une note sur 20 sera attribuée à l'issue de cet examen écrit. Il n'y a pas de notes partielles.

Langue(s) d'évaluation

français

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