année académique
2025-2026
2026-2027

Titulaire(s) du cours

Ignace LORIS (Coordonnateur)

Crédits ECTS

5

Langue(s) d'enseignement

français

Contenu du cours

1) La modélisation (les problème d'optimisation, exemples, rappels sur l’infimum et supremum)

2) Introduction à la géométrie convexe (les ensembles convexes,algorithmes d’enveloppe convexe (optionnel),l’intérieur relatif d’un ensemble convexe, la projection sur un convexe, les plans de séparation,les cônes convexes)

3) La programmation linéaire (définitions, la forme standard d’un programme linéaire,les deux théorèmes fondamentaux, les solutions de base, l’algorithme du simplexe)

4) La dualité en programmation linéaire (les programmes linéaires duaux, la dualité faible et forte, les écarts complémentaires,l’analyse de sensibilité, application : le transport optimal) 

5) La programmation linéaire en nombres entiers (définition et exemples, le couplage de poids maximum, les matrices totalement unimodulaires, l’algorithme de séparation et évaluation, le problème du flot maximum,le problème de la coupe minimale)

6) Introduction à l’analyse convexe (les fonctions convexes, les caractérisations du 1er et 2e ordre, la continuité et la semi-continuité inférieure, le sous-différentiel d’une fonction convexe, les règles de calcul du sous-différentiel)

7) La programmation non linéaire (les problèmes convexes, les conditions de Karush-Kuhn-Tucker, la dualité lagrangienne, l’analyse de sensibilité, application : la commande optimale)

8) La transformation de Fenchel (motivation, définition, propriétés, la dualité Fenchel, la dualité Fenchel-Rockafellar, la dualité lagrangienne revisitée)

Objectifs (et/ou acquis d'apprentissages spécifiques)

A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable de

1) modéliser un problème concrèt comme problème d'optimisation

2) comprendre et d'utiliser les propriétés des ensembles convexes

3) modeliser des problèmes en termes de programmes linéaires

4) résoudre des programmes linéaires simples à l'aide de l'algorithme du simplexe

5) comprendre la dualité en programmation linéaire

6) formuler et analyser des programmes linéaires en nombres entiers

7) comprendre et d'utiliser les propriétés des fonctions convexes

8) formuler les conditions KKT de problèmes non linéaires

9) écrire le Lagrangien et le problème dual correspondant à un problème avec contraintes

10) comprendre et utiliser la transformation de Fenchel

11) identifier certains problèmes dans d'autre disciplines comme problème d'optimisation.

Dans le contexte des matières du cours, l’étudiant sera capable d’interpréter et de produire des contenus mathématiques (tels que textes, schémas et formules) comportant une variété de notations (minuscules et majuscules, italiques, gras, lettres latines et grecques, chiffres, symboles, etc.), présentées dans des polices et tailles courantes.

Pré-requis et Co-requis

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

cours d'analyse (continuité, différentiabilité, fonctions à plusieurs variables, gradient, ensembles ouverts/fermés/compacts...) et d'algèbre linéaire (espaces vectoriels, matrices, produits scalaires, ...)

Cours pré-requis

Méthodes d'enseignement et activités d'apprentissages

Cours ex-cathedra et exercices dirigés

Références, bibliographie et lectures recommandées

R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. Princeton University Press, 1970.
J. B. Hiriart-Urruty and C. Lemarechal. Convex analysis and minimization algorithms. Springer, 1993.
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.
Dimitri P. Bertsekas. Convex Optimization Theory. Athena Scientific, 2009.
Jorge Nocedal and Stephen J. Wright. Numerical Optimization. Springer, 2 edition, 2006.
Amir Beck. Introduction to nonlinear optimization. SIAM, 2014.

Support(s) de cours

  • Syllabus
  • Université virtuelle

Contribution au profil d'enseignement

1. Acquérir et exploiter un savoir
1.1. S'approprier les concepts fondamentaux en mathématique.
1.2. Assimiler les notions de base en algèbre, analyse, géométrie.
1.3. Analyser, synthétiser et relier les connaissances et les différentes branches des mathématiques.
1.4. Maîtriser les principes du raisonnement logique et être capable de fonder sur ceux-ci une argumentation sans faille.
1.6. Identifier un cadre mathématique sous-jacent à un problème donné.
1.7. Se familiariser à diverses méthodes de modélisation.

2. Comprendre les spécificités de la démarche scientifique et la pratiquer
2.1. Comprendre des critères de rigueur, une argumentation, des techniques de démonstration.
2.4. Comprendre un processus d'études de données et de modélisation.
2.5. Comprendre le rôle parfois simplificateur du processus de généralisation d’une théorie.
2.6. Comprendre l’intérêt de l’unification de théories existantes.
2.7. Identifier des questions qui se posent au sein d’une théorie.
2.8. Explorer les conséquences d’un résultat mathématique.

3. Communiquer
3.3. Utiliser un langage clair et rigoureux, adapté au public-cible.

4. Ethique et relation avec la société
4.3. Apprendre à pratiquer l’autocritique relativement à la validité d’un argument.

Autres renseignements

Informations complémentaires

Un syllabus (pdf) est disponible sur l'UV et aux PUB.

Contacts

mail (Ignace.Loris@ulb.be), rdv Teams ou en personne au bureau du titulaire (campus Plaine, bâtiment NO, local 2.O7.107)

Campus

Plaine

Evaluation

Méthode(s) d'évaluation

  • Examen écrit

Examen écrit

  • Question ouverte à réponse courte
  • Question ouverte à développement long
  • Question fermée à Choix Multiple (QCM)
  • Question visuelle
  • Question fermée Vrai ou Faux (V/F)

Un examen intégré écrit portant sur les exercices et la théorie. Exceptionnellement (pandémie, session ouverte, ...) l'examen écrit pourrait être remplacé par un examen oral.

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Une note sur 20 sera donnée à l'issue de l'examen écrit. Il n'y a pas de notes partielles.

Langue(s) d'évaluation

  • français
  • (éventuellement anglais )

Programmes